向量的交叉相交族

给定一个正整数序列 $p = (p_1, . . ., p_n)$，令 $S_p$ 表示所有满足对所有 $i$ 均有 $x_i \le p_i$ 的正整数序列 $x = (x_1,...,x_n)$ 构成的族。若对于任意选取的 $x \in A$ 和 $y \in B$，至少存在 $r$ 个不同的索引 $i$ 使得 $x_i = y_i$，则称两个序列（或向量）族 $A,B \subseteq S_p$ 为 $r$-交叉相交。我们确定了所有 $r$-交叉相交族对的 $|A|\cdot|B|$ 最大值，并在 $\min p_i >r+1$ 的条件下刻画了 $r \ge 1$ 时的极值对。$\min p_i \le r+1$ 的情况则截然不同。对于这种情况，我们提出了一个猜想，并能在附加假设下予以验证。我们的结果推广并加强了 Berge、Frankl、F"uredi、Livingston、Moon 和 Tokushige 此前的多项结果，并回答了 Zhang 提出的一个问题。