关于弱组合的$r$-交叉$t$-相交族

设$\mathbb N_0$为非负整数集，$P(n,l)$表示$n$的所有$l$部分弱组合，即$P(n,l)=\{ (x_1,x_2,\dots, x_l)\in\mathbb N_0^l\ :\ x_1+x_2+\cdots+x_l=n\}$。对于任意元素$\mathbf u=(u_1,u_2,\dots, u_l)\in P(n,l)$，记其第$i$坐标为$\mathbf u(i)$，即$\mathbf u(i)=u_i$。设$l=\min(l_1,l_2,\dots, l_r)$。族$\mathcal A_j\subseteq P(n_j,l_j)$ ($j=1,2,\dots, r$)称为$r$-交叉$t$-相交的，如果对于所有$\mathbf u_j\in \mathcal A_j$，有$\vert \{ i\in [l] \ :\ \mathbf u_1(i)=\mathbf u_2(i)=\cdots=\mathbf u_r(i)\} \vert\geq t$。假设$l\geq t+2$。我们证明存在常数$n_0=n_0(l_1,l_2,\dots,l_r,t)$仅依赖于$l_j$和$t$，使得对所有$n_j\geq n_0$，如果族$\mathcal A_j\subseteq P(n_j,l_j)$ ($j=1,2,\dots, r$)是$r$-交叉$t$-相交的，则\begin{equation} \prod_{j=1}^r \vert \mathcal{A}_j \vert\leq \prod_{j=1}^r {n_j+l_j-t-1 \choose l_j-t-1}.\notag \end{equation} 此外，等号成立当且仅当存在一个$t$元集$T$ of $\{1,2,\dots,l\}$使得$\mathcal{A}_j=\{\mathbf u\in P(n_j,l_j)\ :\ \mathbf u(i)=0\ {\rm for\ all}\ i\in T\}$对于$j=1,2,\dots, r$。