关于集合与向量空间的 $\ell$-弱交叉 $t$-相交族

设 $[n]$（或 $V$）为一个 $n$ 元集合（或维数为 $n$ 的有限域 $\mathbb{F}_{q}$ 上的向量空间），$\binom{[n]}{k}$（或 $\genfrac{[}{]}{0pt}{}{V}{k}$）为所有 $k$ 子集（或 $k$ 维子空间）的集合。若 $\mathcal{F}\subseteq\binom{[n]}{k}$（或 $\mathcal{F}\subseteq\genfrac{[}{]}{0pt}{}{V}{k}$）与 $\mathcal{G}\subseteq\binom{[n]}{k'}$（或 $\mathcal{G}\subseteq\genfrac{[}{]}{0pt}{}{V}{k'}$）满足对所有互不相同的 $F_{1},\ldots,F_{\ell}\in\mathcal{F}$ 和 $G_{1},\ldots,G_{\ell}\in\mathcal{G}$ 都有 $\sum_{1\leq i,j\leq \ell}|F_{i}\cap G_{j}|\geq \ell^{2}t-\ell+1$（或 $\sum_{1\leq i,j\leq \ell}\dim(F_{i}\cap G_{j})\geq \ell^{2}t-\ell+1$），则称 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 为 $\ell$-弱交叉 $t$-相交族。本文给出集合版本 $\ell$-弱交叉 $t$-相交定理的另一种证明，并给出 $n$ 的显式下界。此外，我们证明若 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 为 $\ell$-弱交叉 $t$-相交子空间族，则在 $n\geq (2k-t+1)(t+1)+(k-t+1)k'+k+2\ell-1$ 时，有 $|\mathcal{F}| \cdot |\mathcal{G}| \leq\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n-t}{k-t}\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n-t}{k'-t}$。这扩展了 Cao、Lu、Lv 和 Wang [J. Combin. Theory Ser. A 193 (2023), 105688] 所证的关于交叉 $t$-相交子空间族大小乘积上界的结果。