弱组合的 Hilton-Milner 定理类比

设 $\mathbb N_0$ 为非负整数集，令 $P(n,l)$ 表示所有具有 $l$ 个部分的 $n$ 的弱组合 (weak compositions) 的集合，即 $P(n,l)=\{ (x_1,x_2,\dots, x_l)\in\mathbb N_0^l\ :\ x_1+x_2+\cdots+x_l=n\}$。对于任意元素 $\mathbf u=(u_1,u_2,\dots, u_l)\in P(n,l)$，将其第 $i$ 个坐标记为 $\mathbf u(i)$，即 $\mathbf u(i)=u_i$。若对于所有 $\mathbf u,\mathbf v\in \mathcal A$，满足 $\vert \{ i \ :\ \mathbf u(i)=\mathbf v(i)\} \vert\geq t$，则称族 $\mathcal A\subseteq P(n,l)$ 为 $t$-相交的。若存在 $\{1,2,\dots,l\}$ 的一个 $t$-元子集 $T$ 以及元素 $y_s\in \mathbb N_0$ ($s\in T$)，使得 $\mathcal{A}= \{\mathbf u\in P(n,l)\ :\ \mathbf u(j)=y_j\ {\rm for all}\ j\in T\}$，则称族 $\mathcal A\subseteq P(n,l)$ 为平凡 $t$-相交的。我们证明：给定任意正整数 $l,t$ 且 $l\geq 2t+3$，存在仅依赖于 $l$ 和 $t$ 的常数 $n_0(l,t)$，使得对于所有 $n\geq n_0(l,t)$，若 $\mathcal{A} \subseteq P(n,l)$ 是非平凡 $t$-相交的，则 \begin{equation} \vert \mathcal{A} \vert\leq {n+l-t-1 \choose l-t-1}-{n-1 \choose l-t-1}+t.\notag \end{equation} 此外，等号成立当且仅当存在 $\{1,2,\dots,l\}$ 的一个 $t$-元子集 $T$，使得 \begin{equation} \mathcal A=\bigcup_{s\in \{1,2,\dots, l\}\setminus T} \mathcal A_s\cup \left\{ \mathbf q_i\ :\ i\in T \right\},\notag \end{equation} 其中 \begin{align} \mathcal{A}_s & =\{\mathbf u\in P(n,l)\ :\ \mathbf u(j)=0\ {\rm for all}\ j\in T\ {\rm and}\ \mathbf u(s)=0\}\notag \end{align} 且 $\mathbf q_i\in P(n,l)$ 满足对于所有 $j\in \{1,2,\dots, l\}\setminus \{i\}$ 有 $\mathbf q_i(j)=0$，以及 $\mathbf q_i(i)=n$。