集合划分的 Hilton-Milner 定理类比

令 $\mathcal{B}(n)$ 表示 $[n]$ 的所有集合划分的集合。假设 $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}(n)$ 是一个非平凡的 $t$-相交集合划分族，即 $\mathcal{A}$ 中任意两个成员至少有 $t$ 个公共块，但不存在固定的 $t$ 个大小为 1 的块属于所有成员。证明了对于依赖于 $t$ 的充分大的 $n$，有 $$|\mathcal{A}| \le B_{n-t}-\tilde{B}_{n-t}-\tilde{B}_{n-t-1}+t$$ 其中 $B_{n}$ 是第 $n$ 个 Bell 数，$\tilde{B}_{n}$ 是不含大小为 1 的块的 $[n]$ 的集合划分数量。此外，等号成立当且仅当 $\mathcal{A}$ 等价于 $$\{P \in \mathcal{B}(n): \{1\}, \{2\},..., \{t\}, \{i\} \in P \textnormal{for some} i \not = 1,2,..., t,n \}\cup \{Q(i,n)\ :\ 1\leq i\leq t\}$$ 其中 $Q(i,n)=\{\{i,n\}\}\cup\{\{j\}\ :\ j\in [n]\setminus \{i,n\}\}$。这是集合划分情形下的 Hilton-Milner 定理类比。