Dilworth定理的多部类比

我们证明，每个包含$n$个元素的偏序集都包含$k$个子集$A_{1},A_{2},\dots,A_{k}$，使得要么每个子集的大小为$\Omega(n/k^{5})$，并且对于每个$i<j$，$A_{i}$中的每个元素都小于或等于$A_{j}$中的每个元素；要么每个子集的大小为$\Omega(n/(k^{2}\log n))$，并且对于每个$i \neq j$，$A_{i}$中的每个元素与$A_{j}$中的每个元素都不可比较。这回答了第一作者2006年的一个问题。作为推论，我们证明对于每个正整数$h$，存在$C_h$，使得对于任意$h$个偏序$<_{1},<_{2},\dots,<_{h}$定义在$n$个元素的集合上，存在$k$个子集$A_{1},A_{2},\dots,A_{k}$，每个大小至少为$n/(k\log n)^{C_{h}}$，使得对于每个偏序$<_{\ell}$，要么对于任意元组$(a_1,a_2,\dots,a_k) \in A_1\times A_2\times \dots \times A_k$有$a_{1}<_{\ell}a_{2}<_{\ell}\dots<_{\ell}a_{k}$，要么对于任意$(a_1,a_2,\dots,a_k) \in A_1\times A_2\times \dots \times A_k$有$a_{1}>_{\ell}a_{2}>_{\ell}\dots>_{\ell}a_{k}$，要么对于任意$i\ne j$，$a_i\in A_i$和$a_j\in A_j$，$a_i$与$a_j$不可比较。这改进了Pach和第一作者2009年受离散几何问题启发的结果。