Hilton-Milner定理的乘积形式II

两个$\mathcal{F}, \mathcal{G}$由$k$子集组成的家族若满足对所有$F\in \mathcal{F}, G\in \mathcal{G}$都有$F\cap G\neq \emptyset$，且$\cap \{F\colon F\in \mathcal{F}\}=\emptyset=\cap \{G\colon G\in\mathcal{G}\}$，则称为非平凡交叉相交。本文在$k\geq 8$的完整范围内建立了Hilton-Milner定理的乘积形式。即若$\mathcal{F}, \mathcal{G}\subset \binom{[n]}{k}$为非平凡交叉相交，且$n\geq 2k+1$且$k\geq 8$，则[$|\mathcal{F}||\mathcal{G}|\leq \left(\binom{n-1}{k-1}- \binom{n-k-1}{k-1} +1\right)^2$。