交叉相交族与对称系统的本原性

设$X$为有限集，$\mathfrak p\subseteq 2^X$（$X$的幂集）满足三个条件：(a) $\mathfrak p$是$2^X$中的一个理想，即若$A\in \mathfrak p$且$B\subset A$，则$B\in \mathfrak p$；(b) 对于$|A|\geq 2$的$A\in 2^X$，若对任意$x,y\in A$且$x\neq y$有$\{x,y\}\in \mathfrak p$，则$A\in \mathfrak p$；(c) 对每个$x\in X$有$\{x\}\in \mathfrak p$。如果存在一个群$\Gamma$可递地作用在$X$上并保持理想$\mathfrak p$，则称对$(X,\mathfrak p)$为一个对称系统。若对任意$a\in A_i$和$b\in A_j$（$i\neq j$）有$\{a, b\}\in \mathfrak{p}$，则称族$\{A_1,A_2,\ldots,A_m\}\subseteq 2^X$为$X$的一个交叉-$\mathfrak{p}$-族。我们证明，如果$(X,\mathfrak p)$是一个对称系统且$\{A_1,A_2,\ldots,A_m\}\subseteq 2^X$是$X$的一个交叉-$\mathfrak{p}$-族，则$$\sum_{i=1}^m|{A}_i|\leq\left\{ \begin{array}{cl} |X| & \hbox{若$m\leq \frac{|X|}{\alpha(X,\, \mathfrak p)}$,} \ m\, \alpha(X,\, \mathfrak p) & \hbox{若$m\geq \frac{|X|}{\alpha{(X,\, \mathfrak p)}}$,} \end{array}\right.$$ 其中$\alpha(X,\, \mathfrak p)=\max\{|A|:A\in\mathfrak p\}$。这推广了Hilton关于有限集交叉相交族的定理，并为有限集、有限向量空间和置换等的交叉-$t$-相交族提供了类似结果。此外，引入了对称系统的本原性来刻画最优族。