$k$ 重相交族的理想性

若一个 clutter 的每 $k$ 个成员都有公共元素，但没有任何元素属于所有成员，则称其为\emph{$k$ 重相交}的。我们猜想，对某个整数 $k\geq 4$，每个 $k$ 重相交 clutter 都是非理想的。作为该猜想的证据，我们证明了二元 clutter 类上 $k=4$ 的情形。证明的两个关键要素是 Jaeger 的图 $8$-流定理，以及 Seymour 对具有回路和性质的二元拟阵的刻画。作为猜想的进一步证据，我们也指出它可由 Seymour 1975 年未发表的一个猜想推出。我们还讨论了与 clutter 的色数、二元域上的射影几何、图中的均匀圈覆盖，以及理想 clutter 中值为 2 的四分之一整数填充之间的联系。