最小化子集与超集的总数

设 $\mathcal{F}$ 为基集 $\{1,\ldots,n\}$ 的一个子集族，满足 $|\mathcal{F}|=m$，并令 $\mathcal{F}^{\updownarrow}$ 表示 $\{1,\ldots,n\}$ 中所有为 $\mathcal{F}$ 中集合的子集或超集的子集构成的族。本文在此确定 $|\mathcal{F}^{\updownarrow}|$ 作为 $n$ 与 $m$ 的函数所能取到的最小值。这可被视为一种“双侧”的 Kruskal-Katona 型结果。它还给出了如下图的等周问题的解：该图的顶点为 $\{1,\ldots,n\}$ 的子集，若两个顶点中一个为另一个的子集则二者相邻。该图是 $n$ 维超立方体的母图，我们注意到我们的结果与 Harper 定理（其解决了超立方体的等周问题）之间存在某些相似之处。特别地，类似于 Harper 定理，我们证明了对 $\{1,\ldots,n\}$ 的子集存在一种全序，使得对于该全序的每个初始段 $\mathcal{F}$，$\mathcal{F}^{\updownarrow}$ 都具有最小可能大小。我们的结果也回答了 Gerbner 等人关于交叉-Sperner 族的研究中自然产生的一个问题，并使我们能够加强他们的其中一个主要结果。