离散立方体中具有小边边界的子集的结构

离散立方体中的边等周不等式对每一对整数 $m$ 和 $n$ 规定了 $\{0,1\}^{n}$ 的 $m$ 元子集的边边界的最小尺寸 $g_n(m)$；极值族（在离散立方体的自同构意义下）是 $\{0,1\}^n$ 上字典序的初始段。我们证明，对任意 $m$ 元子集 $\mathcal{F} \subset \{0,1\}^n$ 和任意整数 $l$，若 $\mathcal{F}$ 的边边界尺寸至多为 $g_n(m)+l$，则存在一个极值族 $\mathcal{G} \subset \{0,1\}^n$ 使得 $|\mathcal{F} \Delta \mathcal{G}| \leq Cl$，其中 $C$ 是一个绝对常数。这在常数 $C$ 的值上是可能的最优结果。我们的结果可视为离散立方体中边等周不等式的“稳定性”版本，也是 Fusco、Maggi 和 Pratelli 关于欧几里得空间中等周不等式的开创性稳定性结果的离散类比。