离散超立方体的近似等周子集

我们表明，对于边边界大小至多为 $|A| (\log_{2}(2^{n}/|A|) + \epsilon)$ 的集合 $A \subset \{0,1\}^{n}$，只要 $\epsilon$ 小于一个绝对常数，就可以通过至多 $(2 \epsilon/\log_{2}(1/\epsilon))|A|$ 次添加和删除操作将其变为一个子超立方体。我们推导出，如果 $A \subset \{0,1\}^{n}$ 的大小为 $2^{t}$（其中 $t \in \mathbb{N}$），并且不能通过少于 $\delta |A|$ 次添加和删除操作变为子超立方体，那么其边边界大小至少为 $|A| \log_{2}(2^{n}/|A|) + |A| \delta \log_{2}(1/\delta) = 2^{t}(n-t+\delta \log_{2}(1/\delta))$，前提是 $\delta$ 小于一个绝对常数。每当 $\delta = 1/2^{j}$（其中 $j \in \{1,2,\ldots,t\}$）时，该结果是紧的。