立方体嵌入稠密立方体子集中的度量嵌入

固定 $k \in \mathbb{N}$ 和 $0 < \delta < 1$。我们研究当中每个 $\delta$-稠密子集 $\mathcal{D} \subset \{0,1\}^N$（即 $|\mathcal{D}| \geq \delta 2^N$）包含度量嵌入 $f: \{0,1\}^k \to \mathcal{D}$ 的像时，$N$ 必须多大。我们研究三种变体。对于固定 $\varepsilon > 0$ 的 $(1+\varepsilon)$-双 Lipschitz 映射 $f$，我们证明 $N = O(\varepsilon^{-2} \log(1/\delta) k^3)$。对于带任意尺度重缩的等距映射，我们证明 $N = \log(1/\delta) e^{\Omega(k)}$，并推测 $N = \log(1/\delta) e^{O(k)}$。对于带有界尺度重缩的等距映射，我们证明 $N = \exp[\log(1/\delta) e^{\Theta(k)}]$。作为几何应用，我们获得了对 Bartal-Linial-Mendel-Naor 关于非线性 Dvoretzky 问题工作的非正曲率 Alexandrov 对应结果。已知任何包含在 $\{0,1\}^N$ 的子集嵌入到非负 Alexandrov 曲率度量空间中，双 Lipschitz 失真 $< \alpha$ 必须满足 $|\mathcal{D}| \lesssim 2^{N(1-\Omega(\alpha^{-2}))}$。Gromov 和 Kondo 的工作表明，这种方法无法推广到 CAT(0) 目标。我们证明对于每一个 $N \gtrsim \alpha^6 \geq 1$，任何 $\mathcal{D} \subset \{0,1\}^N$ 嵌入到 CAT(0) 空间中，双 Lipschitz 失真 $< \alpha$ 必须满足 $|\mathcal{D}| \lesssim 2^{N(1-\Omega(\alpha^{-4}))}$，通过完全不同的方法。类似结果也适用于非平凡 Enflo 类型目标。最后，我们证明了 Rodl-Sales 着色定理的密度类比：我们给出路径 $\{1,\ldots,k\}$ 嵌入到 $\{1,\ldots,N\}$ 中稠密子集的 $(1+\varepsilon)$-双 Lipschitz 嵌入的界限（改进了 Dumitrescu 的界限），并证明类似的二叉树度量结果。