Wasserstein空间的雪花普适性

对于$p\in (1,\infty)$，令$\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$表示$\mathbb{R}^3$上所有$p$-可积Borel概率测度的度量空间，并配备Wasserstein $p$度量$\mathsf{W}_p$。我们证明，对于每一个$\varepsilon>0$、每一个$\theta\in (0,1/p]$以及每一个有限度量空间$(X,d_X)$，度量空间$(X,d_{X}^{\theta})$都能以至多$1+\varepsilon$的畸变嵌入到$\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$中。我们证明，当$p\in (1,2]$时，这一结果是精确的，即指数$1/p$不能被任何更大的数所替代。事实上，对于任意大的$n\in \mathbb{N}$，存在一个$n$点度量空间$(X_n,d_n)$，使得对于每一个$\alpha\in (1/p,1]$，度量空间$(X_n,d_n^\alpha)$到$\mathscr{P}_p(\mathbb{R}^3)$的任何嵌入都会产生至少为$(\log n)^{\alpha-1/p}$常数倍的畸变。这些结论表明，存在一个非负曲率的Alexandrov空间，即$\mathscr{P}_{\! 2}(\mathbb{R}^3)$，相对于该空间，不存在有界度扩张图序列。这也意味着$\mathscr{P}_{\! 2}(\mathbb{R}^3)$不允许到任何非平凡型Banach空间的一致、粗或拟对称嵌入。文中讨论了与度量几何中若干长期悬而未决问题的联系，包括Alexandrov空间子集的刻画、扩张图的存在性、$\mathscr{P}_{\! 2}(\mathbb{R}^k)$的普适性问题以及度量余型二分问题。