保持特定距离的概率测度映射 --- 综述与若干新结果

定义在度量空间上的 Borel 概率测度是基础数学对象。存在若干有意义的距离函数，使定义在某一空间上的概率测度全体构成度量空间。我们感兴趣于此类度量空间的等距映射结构之描述。我们概述该课题的一些近期结果，并给出关于 Wasserstein 距离的一些新结果。更具体地，我们考虑欧几里得空间单位球面上所有 Borel 概率测度在任意 $p \geq 1$ 的 Wasserstein 度量 $W_p$ 下的空间，并证明 Wasserstein 等距映射在 Dirac 测度集上的作用由底层单位球面的一个等距所诱导。