切片 Wasserstein 空间的几何与分析性质

切片 Wasserstein 度量通过对概率测度在 $\mathbb{R}^d$ 上投影到直线的 Wasserstein 距离取平均来比较其上的概率测度。由于该距离在高维中比 Wasserstein 距离更易近似与计算，已在统计与机器学习中找到一系列应用。尽管 Wasserstein 度量的几何已相当清楚并带来了重要进展，人们对切片 Wasserstein（SW）度量的几何与度量性质却知之甚少。本文表明，当所考虑的测度“良好”时（例如被 Lebesgue 测度的正倍数上下界约束），则 SW 度量与（齐次）负 Sobolev 范数 $\dot H^{-(d+1)/2}$ 可比。另一方面，当所考虑的测度在无穷传输度量下接近一个离散测度时，它们之间的 SW 度量接近于 Wasserstein 度量的一个倍数。我们刻画了 SW 空间的商空间，表明空间中曲线的速率可由二次型描述，但 SW 空间并非长度空间。我们建立了由测度间曲线最小长度给出的度量——SW 长度——的若干性质。最后我们强调了这些性质对 SW 度量下梯度流的后果。