离散切片 Wasserstein 损失的性质

切片 Wasserstein（SW）距离已成为比较概率测度的 Wasserstein 距离的流行替代方案。广泛应用包括图像处理、域适应和生成建模，其中通常优化某些参数以最小化 SW，其作为离散概率测度之间的损失函数（因为承认密度的测度在数值上不可得）。所有这些优化问题都带有相同的子问题，即最小化切片 Wasserstein 能量。在本文中，我们研究 $\mathcal{E}: Y \longmapsto \mathrm{SW}_2^2(\gamma_Y, \gamma_Z)$ 的性质，即两个具有相同点数的均匀离散测度的 SW 距离，作为其中一个测度支撑 $Y \in \mathbb{R}^{n \times d}$ 的函数。我们研究该能量的正则性与优化性质，以及其蒙特卡洛近似 $\mathcal{E}_p$（仅用 $p$ 个样本估计 SW 中的期望），并展示 $\mathcal{E}_p$ 临界点向 $\mathcal{E}$ 临界点的收敛结果，以及过程 $\mathcal{E}_p(Y)$ 的几乎必然一致收敛和一致中心极限结果。最后，我们表明在某种意义下，最小化 $\mathcal{E}$ 和 $\mathcal{E}_p$ 的随机梯度下降方法收敛于这些能量的（Clarke）临界点。