关于任意余维数下双曲空间等距浸入的复杂性

尽管 Nash 定理解决了等距嵌入问题，但如果进一步寻求从子流形几何角度来看表现良好的嵌入，情况本质上会更加复杂。更一般地，考虑 Lipschitz 映射 $F:M^m\to\mathbb R^n$，其中 $M^m$ 是一个曲率介于负常数之间的 Hadamard 流形。本文的主要结果是 $F$ 必须执行实质性的压缩：对于每个 $r>0$ 和整数 $k\geq 2$，在 $M^m$ 中存在 $k$ 个半径为 $r$ 的测地球，它们彼此任意远，但在 $\mathbb R^n$ 的 Hausdorff 意义下，它们在 $F$ 下的像任意紧密地聚集在一起。特别地，无论余维数有多高，双曲空间 $\mathbb H^m$ 到 $\mathbb R^n$ 的每个等距嵌入都必须具有复杂的渐近行为。因此，在任何欧几里得空间内等距实现 $\mathbb H^m$ 并没有真正简单的方法。