子黎曼流形的部分等距

在本文中，我们得到了Nash和Kuiper的等距$C^1$-浸入定理的如下推广。设$M$是一个$m$维光滑流形，$H$是切丛$TM$的一个秩为$k$的子丛，并带有黎曼度量$g_H$。则对$(H,g_H)$定义了$M$上的一个子黎曼结构。我们称一个$C^1$-映射$f:(M,H,g_H)\to (N,h)$（其中$(N,h)$是一个黎曼流形）为{\em 部分等距}，如果导数映射$df$限制在$H$上是等距的；换言之，$f^*h|_H=g_H$。主要结果表明，如果$\dim N>k$，那么一个满足$f^*h|_H<g_H$的光滑$H$-浸入$f_0:M\to N$可以同伦到一个部分等距$f:(M,g_H)\to (N,h)$，且该部分等距在$C^0$意义上接近$f_0$。特别地，我们证明了每个子黎曼流形$(M,H,g_H)$在$\R^n$中都允许一个部分等距，只要$n\geq m+k$。