通过热核实现 RCD$(K,N)$ 空间的等距浸入

给定 RCD$(K,N)$ 空间 $({X},\mathsf{d},\mathfrak{m})$，可利用其热核 $\rho$ 通过局部 Lipschitz 映射 $\Phi_t(x):=\rho(x,\cdot,t)$ 将其映入 $L^2$ 空间。若每个 $\Phi_t$ 均为等距浸入（经归一化后），则称空间 $(X,\mathsf{d},\mathfrak{m})$ 为等距热核浸入空间。一个主要结论指出：任何紧致等距热核浸入的 RCD$(K,N)$ 空间均等距于一个无权的闭光滑黎曼流形。这一结论由更一般的结论所支撑：若一个紧致非塌缩 RCD$(K, N)$ 空间具有等距浸入特征映射，则该空间等距于无权的闭黎曼流形，这极大改进了 Honda 在 \cite{H21} 中的正则性结果。作为这些结果的应用，我们给出了具有曲率-维数-直径界及等距浸入特征映射的某类黎曼流形的 $C^\infty$-紧致性定理。