任意流形上 Kato 势背景中的热核

通过为给定的黎曼极小热核引入\emph{Kato 控制对}的概念,我们证明了在每个黎曼流形 $(M,g)$ 上,Kato 类 $\mathcal{K}(M,g)$ 具有形如 $\mathsf{L}^q(M,d\varrho)$ 的子空间,其中 $\varrho$ 关于体积测度 $\mu_g$ 具有连续密度(其中 $q$ 依赖于 $\dim(M)$)。利用局部抛物型 $\mathsf{L}^1$ 均值不等式,我们证明了每个黎曼流形上此类密度的存在性,这尤其蕴含 $\mathsf{L}^q_{loc}(M)\subset\mathcal{K}_{loc}(M,g)$。基于先前建立的结果,后一局部事实可应用于具有奇异磁势和电势的 Schr\"odinger 算子的本质自伴性问题。最后,我们还给出了一个基于极小黎曼浸没的 Kato 判据。