RCD 空间之间的 Sobolev 映射及在调和映射中的应用:一种热核方法

我们研究从有限维 RCD 空间 $(X, \dist_X, \meas_X)$ 到有限维非塌缩紧 RCD 空间 $(Y, \dist_Y, \mathcal{H}^N)$ 的 Sobolev 映射 $f$。若像 $f(X)$ 在弱意义下光滑(当 $f_{\sharp}\meas_X$ 关于 Hausdorff 测度 $\mathcal{H}^N$ 绝对连续,或 $(Y, \dist_Y, \mathcal{H}^N)$ 在弱意义下光滑时满足),则 $(Y, \dist_Y, \mathcal{H}^N)$ 的黎曼度量 $g_Y$ 的拉回 $f^*g_Y$ 作为 $X$ 上的 $L^1$-张量良定义, $f$ 的极小弱上梯度 $G_f$ 可用 $f^*g_Y$ 表示,且当 $f$ 为 Lipschitz 时在 $\meas_X$-几乎处处点与局部斜率一致。特别地,最后一陈述给出了度量测度空间上 Lipschitz 函数 Cheeger 可微性定理的非线性类比。此外这些结果使我们能定义 $f$ 的能量,该能量与 Korevaar-Schoen 能量一致。为实现此目的,我们使用由 Ambrosio-Portegies-Tewodrose 与第一作者建立的热核嵌入 $\Phi_t:Y \hookrightarrow L^2(Y, \mathcal{H}^N)$ 对 $g_Y$ 进行光滑化,并改进了起关键作用的 $\Phi_t$ 的正则性。我们还证明 $(Y, \dist_Y)$ 与 $\mathbb{R}^{N+1}$ 中 $N$ 维标准单位球面等距且 $f$ 为极小等距浸入,当且仅当 $(X, \dist_X, \meas_X)$ 在将 $\meas_X$ 乘一常数后非塌缩,且 $f$ 为特征值等于 $(X, \dist_X, \meas_X)$ 本质维数的特征映射,这给出了第一作者先前工作中遗留问题的肯定回答。