Sobolev 映射的 Pontrjagin-Hopf 不变量

将同伦不变量扩展到正则性较差的函数空间（例如包含不连续函数的 Sobolev 空间）时会出现微妙的问题。有时根本无法扩展该不变量；有时，即使定义不变量的公式有意义，它们也可能不具备预期的性质（例如，存在具有非整数度的映射）。在本文中，我们为从 3 维流形到 2 维球面的映射定义了一套完整的同伦不变量，并证明这些不变量可扩展至有限 Faddeev 能量映射及适当 Sobolev 空间中的映射。对于光滑映射，我们的描述被证明等价于 Pontrjagin 在 20 世纪 30 年代提出的原始同伦分类。我们进一步表明，对于有限能量映射，这些不变量取值与光滑映射完全相同。文中包含了在 Faddeev 模型中的应用。我们所使用的技术也可应用于更多问题和/或其他泛函。我们力求使本文对分析学家、几何学家和数学物理学家均易于理解。