度量曲面上的有限畸变映射

我们研究有限畸变映射 $f:X \to \mathbb{R}^2$ 的基本性质，其中 $X$ 是任意度量曲面，即同胚于平面区域且具有局部有限 $2$ 维Hausdorff测度的度量空间。我们引入下梯度，以补充Heinonen与Koskela的上梯度，用于研究度量空间上非同胚映射的畸变。我们将Iwaniec-Šverák定理推广到度量曲面：具有局部平方可积上梯度和局部可积畸变的非常数映射 $f:X \to \mathbb{R}^2$ 是连续、开且离散的。我们还推广了Hencl-Koskela定理，证明若 $f$ 进而单射，则 $f^{-1}$ 是一个Sobolev映射。