有限畸变平面映射的最优正则性

设 $f:\Omega\to\mathbb{R}^2$ 为有限畸变映射，其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^2$。假设畸变函数 $K(x,f)$ 满足 $e^{K(\cdot, f)}\in L^p_{\rm loc}(\Omega)$，其中 $p>0$。我们建立了 $f$ 的最优正则性和面积畸变估计。特别地，我们证明了 $|Df|^2 \log^{\beta -1}(e + |Df|) \in L^1_{\rm loc}(\Omega)$ 对所有 $\beta < p$ 成立。这正面回答了 Iwaniec 和 Martin [IMbook] 以及 Iwaniec、Koskela 和 Martin [IKM] 提出的著名猜想。