有限畸变单调映射的纤维

我们研究拓扑单调满射 $W^{1,n}$ 有限畸变映射 $f \colon \Omega \to \Omega'$,其中 $\Omega, \Omega'$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的区域, $n \geq 2$。若外畸变函数 $K_f \in L_{\mathrm{loc}}^{p}(\Omega)$ 且 $p \geq n-1$,则已知此类映射 $f$ 为同胚,从而纤维 $f^{-1}\{y\}$ 为单点集。我们证明,当畸变函数 $K_f$ 的可积指数 $p$ 在 $1/(n-1) \leq p < n-1$ 范围内增大时,映射 $f$ 的纤维 $f^{-1}\{y\}$ 开始满足日益增强的同调限制。我们还给出了 Bing 关于具有非平凡同调纤维的单调映射 $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ 这一拓扑例子的 Sobolev 实现,并证明该例子对所有 $\varepsilon > 0$ 均有 $K_f \in L^{1/2 - \varepsilon}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^3)$。