利用层压构造导数 $Df$ 与 $Df^{-1}$ 均为低秩的双Sobolev同胚 $f$

设 $\Omega\subset \mathbb{R}^{n}$ 为有界开集。给定 $1\leq m_1,m_2\leq n-2$，我们构造一个同胚 $f :\Omega\to \Omega$，它是 H\"older 连续的，$f$ 在 $\partial \Omega$ 上为恒等映射，导数 $D f$ 在 $\Omega$ 中几乎处处秩为 $m_1$，其逆的导数 $D f^{-1}$ 几乎处处秩为 $m_2$，且 $Df\in W^{1,p}$、$Df^{-1}\in W^{1,q}$，其中 $p<\min\{m_1+1,n-m_2\}$，$q<\min\{m_2+1,n-m_1\}$。证明基于凸积分与层压。我们还证明了该函数及其逆的可积性是最优的。