度量测度空间与平面之间的 BV 与 Sobolev 同胚

我们证明：给定同胚 $f:G\rightarrow\Omega$，其中 $G$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的开子集，$\Omega$ 是支持弱 $(1,1)$-Poincaré 不等式的 $2$-Ahlfors 正则度量测度空间的开子集，则 $f\in BV_{\operatorname{loc}}(G,\Omega)$ 当且仅当 $f^{-1}\in BV_{\operatorname{loc}}(\Omega,G)$。进一步，若 $f$ 满足 Luzin N 与 N$^{-1}$ 条件，则 $f\in W^{1,1}_{\operatorname{loc}}(G,\Omega)$ 当且仅当 $f^{-1}\in W^{1,1}_{\operatorname{loc}}(\Omega,G)$。