通过层合构造具有低秩梯度的 Sobolev 同胚

设 $\Omega\subset \mathbb{R}^{n}$ 为一个有界开集。给定 $2\leq m\leq n$，我们构造一个凸函数 $\phi :\Omega\to \mathbb{R}$，其梯度 $f= \nabla \phi$ 是一个 H"older 连续同胚，$f$ 在 $\partial \Omega$ 上为恒等映射，导数 $D f$ 在 $\Omega$ 中几乎处处具有秩 $m-1$，且 $D f$ 属于弱 $L^{m}$ 空间 $L^{m,w}$。该证明基于凸积分和阶梯层合。