2-球面上 Morse 函数 Kronrod-Reeb 图的自同构

设 $M$ 为紧致二维流形，$f \in C^{\infty}(M,\mathbb{R})$ 为 Morse 函数，$\Gamma_f$ 为其 Kronrod-Reeb 图。记 $\mathcal{O}_{f}=\{f \circ h \mid h \in \mathcal{D}\}$ 为 $f$ 在微分同胚群 $\mathcal{D}$ 对 $C^{\infty}(M,\mathbb{R})$ 的自然右作用下的轨道，并记 $\mathcal{S}(f)=\{h\in\mathcal{D} \mid f \circ h = f\}$ 为该函数的相应稳定子。容易证明，每个 $h\in\mathcal{S}(f)$ 都诱导出 $\Gamma_f$ 的一个同胚。另设 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(M)$ 为 $\mathcal{D}(M)$ 的包含恒等映射的路径连通分支，$\mathcal{S}'(f)= \mathcal{S}(f) \cap \mathcal{D}_{\mathrm{id}}(M)$ 为保持 $f$ 且同伦于恒等映射的 $M$ 的微分同胚群，$G_f$ 为由属于 $\mathcal{S}'(f)$ 的微分同胚所诱导的图 $\Gamma_f$ 的同胚群。该群是计算轨道 $\mathcal{O}_{f}$ 同伦类型的关键要素之一。最近，作者描述了除 $2$-环面 $T^2$ 和 $2$-球面 $S^2$ 外所有可定向曲面上 Morse 函数的群 $G_f$ 的结构。本文专门研究 $M=S^{2}$ 的情况。在这种情况下，$\Gamma_f$ 始终是一棵树，因此群 $G_f$ 的所有元素都有一个公共的不动子树 $\mathrm{Fix}(G_f)$，该子树甚至可能仅由唯一顶点构成。我们的主要结果计算了所有其不动子树 $\mathrm{Fix}(G_f)$ 包含多于一个点的 Morse 函数 $f:S^{2}\to\mathbb{R}$ 所对应的群 $G_f$。