曲面上 Morse 函数稳定子与轨道的同伦型

设 $M$ 为光滑紧曲面（可定向或不可定向，有边界或无边界），$P$ 为实直线 $R^1$ 或圆周 $S^1$，$Diff(M)$ 为 $M$ 的微分同胚群，按规则 $h\cdot f\mapsto f \circ h^{-1}$ 作用于 $C^{\infty}(M,P)$，其中 $h\in Diff(M)$，$f \in C^{\infty}(M,P)$。设 $f:M \to P$ 为 Morse 函数，$O(f)$ 为该作用下 $f$ 的轨道。我们证明对 $k\geq 3$ 有 $\pi_k O(f)=\pi_k M$，且除少数情形外 $\pi_2 O(f)=0$。特别地，若 $M$ 为非球面（aspherical），则 $O(f)$ 亦为非球面。此外，$\pi_1 O(f)$ 是有限生成自由阿贝尔群与 $f$ 的 Reeb 图自同构群的一个（有限）子群的一个扩张。我们还完整证明了轨道 $O(f)$ 是 $C^{\infty}(M,P)$ 中有限余维的驯顺 Fréchet 子流形，且投影 $Diff(M) \to O(f)$ 是一个主局部平凡 $S(f)$-纤维化。