不可定向曲面上光滑函数的形变对称性

给定紧曲面 $M$,考虑微分同胚群 $\mathcal{D}(M)$ 在 $\mathcal{C}^{\infty}(M,\mathbb{R})$ 上由规则 $(f,h)\mapsto f\circ h$（其中 $f\in \mathcal{C}^{\infty}(M,\mathbb{R})$,$h\in\mathcal{D}(M)$）定义的自然右作用。记 $\mathcal{F}(M)$ 为 $\mathcal{C}^{\infty}(M,\mathbb{R})$ 中由满足以下条件的函数 $f:M\to\mathbb{R}$ 组成的子集：在 $\partial{M}$ 的连通分支上取常值、在 $\partial{M}$ 上无临界点、且在其每个临界点 $z$ 处函数 $f$ 与某个无重因式的齐次多项式 $\mathcal{C}^{\infty}$ 等价。特别地,$\mathcal{F}(M)$ 包含所有 Morse 映射。令 $\mathcal{O}(f) = \{ f\circ h \mid h\in\mathcal{D}(M) \}$ 为 $f$ 的轨道。此前已对 $M$ 为任意异于 $2$-球的可定向紧曲面情形计算了所有 $f\in\mathcal{F}(M)$ 的 $\pi_1\mathcal{O}(f)$ 的代数结构。本文中我们计算群 $\pi_0\mathcal{S}(f,\partial\mathbb{M})$,其中 $\mathbb{M}$ 为 Möbius 带,而 $\mathcal{S}(f,\partial\mathbb{M}) = \{ h\in\mathcal{D}(\mathbb{M}) \mid f\circ h = f, \ h|_{\partial \mathbb{M}} = \mathrm{id}_{\mathbb{M}}\}$ 是 $f$ 的相应稳定子群中由在边界 $\partial \mathbb{M}$ 上固定的微分同胚组成的子群。作为推论,我们得到了所有异于 Klein 瓶和射影平面的不可定向曲面上 $\pi_1\mathcal{O}(f)$ 的显式代数描述。