2-环面上光滑函数空间的同伦性质

设 $f:T^2\to\mathbb{R}$ 为 2-环面上的 Morse 函数，$\mathcal{S}(f)$ 和 $\mathcal{O}(f)$ 分别为它关于 $T^2$ 微分同胚群 $\mathcal{D}(T^2)$ 右作用的稳定子与轨道，$\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 为 $\mathcal{D}(T^2)$ 的单位路径连通分支，且 $\mathcal{S}'(f) = \mathcal{S}(f) \cap \mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$。我们给出了使得 $$\pi_1\mathcal{O}_f(f) \ \cong \ \pi_1\mathcal{D}(T^2) \times \pi_0 \mathcal{S}'(f) \ \equiv \ \mathbb{Z}^2 \times \pi_0 \mathcal{S}'(f).$$ 成立的充分条件。事实上，该结果对更大一类光滑函数 $f:T^2\to\mathbb{R}$ 也成立，这类函数具有以下性质：对于 $f$ 的每一个临界点 $z$，$f$ 在 $z$ 处的芽光滑等价于一个无重因子的齐次多项式 $\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$。