紧致曲面上 Morse 函数的 Kronrod-Reeb 图的自同构

设 $M$ 为连通可定向紧致曲面，$f:M\to\mathbb{R}$ 为 Morse 函数，$\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(M)$ 为 $M$ 上同伦于恒等映射的微分同胚群。记 $\mathcal{S}'(f)=\{f\circ h = f\mid h\in\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(M)\}$ 为 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(M)$ 中由“保持” $f$ 的微分同胚组成的子群，即 $f$ 关于 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(M)$ 在 $M$ 上光滑函数空间 $\mathcal{C}^{\infty}(M,\mathbb{R})$ 上右作用的稳定子群。又记 $\mathbf{G}(f)$ 为由属于 $\mathcal{S}'(f)$ 的微分同胚诱导的 $f$ 的 Kronrod-Reeb 图的自同构群。该群是确定 $f$ 在上述 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(M)$ 作用轨道的同伦型的重要要素；当 $f$ 为“泛化”的（即每个水平集 $f^{-1}(c)$, $c\in\mathbb{R}$ 至多有一个临界点）时它平凡。对于 $M$ 异于 $2$-球面与 $2$-环面的情形，我们给出群 $\mathbf{G}(f)$ 的同构类族 $\mathbf{G}(M,\mathbb{R})$ 的精确描述，其中 $f$ 取遍 $M$ 上所有 Morse 函数，以及其子族 $\mathbf{G}^{smp}(M,\mathbb{R}) \subset \mathbf{G}(M,\mathbb{R})$（由对应于简单 Morse 函数的群构成，即每个水平集的每个连通分支上至多有一个临界点的函数）。事实上，$\mathbf{G}(M,\mathbb{R})$（相应地，$\mathbf{G}^{smp}(M,\mathbb{R})$）与包含平凡群且对直积以及对任意有限循环群（相应地，仅对群 $\mathbb{Z}_2$）的“自上”缠绕积封闭的同构类群的最小族重合。