曲面上 Morse 函数空间之拓扑

设 $M$ 为一光滑闭可定向曲面，并设 $F$ 为 $M$ 上 Morse 函数构成的空间，使得 $F$ 中每个函数的至少 $\chi(M)+1$ 个临界点被不同的标签所标记（枚举）。赋予空间 $F$ 以 $C^\infty$-拓扑。我们证明了同伦等价 $F\sim R\times{\widetilde{\cal M}}$，其中 $R$ 为流形 ${\mathbb R}P^3$、$S^1\times S^1$ 和点之一，取决于 $\chi(M)$ 的符号，而 ${\widetilde{\cal M}}$ 为带标架 Morse 函数的万有模空间，它是一个光滑分层流形。得到了空间 $F$ 的 Betti 数的 Morse 不等式。