曲面上具有规定奇点的光滑函数空间与梯度类流的拓扑

对于闭可定向曲面 $M$ 上的梯度类流，我们意指定义在 $M$ 去掉有限点集（$\beta$ 的源与汇）上的闭 1-形式 $\beta$，使得在 $M$ 上存在 Morse 函数 $f$（称为 $\beta$ 的能量函数），其临界点与 $\beta$ 的平衡点重合，且对 $(f,\beta)$ 在 $f$ 的每个临界点附近具有规范形式。令 $\mathcal{B}=\mathcal{B}(\beta_0)$ 为 $M$ 上所有具有与流 $\beta_0$ 相同类型局部奇点的梯度类流的空间，$\mathcal{F}=\mathcal{F}(f_0)$ 为 $M$ 上所有具有与 $\beta_0$ 的能量函数 $f_0$ 相同类型局部奇点的 Morse 函数的空间。我们证明，赋予 $C^\infty$ 拓扑的空间 $\mathcal{F}$ 与 $\mathcal{B}$ 同伦等价于某流形 $\mathcal{M}_s$，此外它们到 $\mathrm{Diff}^0(M)$-轨道的分解由 $\mathcal{M}_s$ 上的两个横截纤维化给出。对 $\mathcal{F}$ 与 $\mathcal{B}$ 上的拓扑等价类以及非 Morse 奇点，也证明了类似结果。