螺旋度是不可压流中导数在 $C^1$ 拓扑下连续的唯一不变量

设 $Q$ 是一个具有光滑边界 $\partial Q$ 的光滑紧致可定向 3-流形。令 $\mathcal{B}$ 为精确 2-形式 $B\in\Omega^2(Q)$ 的集合，满足 $j_{\partial Q}^*B=0$，其中 $j_{\partial Q}:{\partial Q}\to Q$ 是包含映射。与恒等映射同伦的 $Q$ 的自微分同胚群 $\mathcal{D}=\mathrm{Diff}_0(Q)$ 通过 $\mathcal{D}\times\mathcal{B}\to\mathcal{B}$, $(h,B)\mapsto h^*B$ 作用于集合 $\mathcal{B}$。令 $\mathcal{B}^\circ$ 为 $\mathcal{B}$ 中无零点的 2-形式 $B\in\mathcal{B}$ 的集合。我们证明，每一个关于 $C^1$ 拓扑具有正则连续导数的 $\mathcal{D}$ 不变泛函 $I:\mathcal{B}^\circ\to\mathbb{R}$ 都可以局部地（并且，若 $Q=M\times S^1$ 且 $\partial Q\ne\varnothing$，则在整个允许与 $M\times\{*\}$ 同伦的截面的所有 2-形式 $B\in\mathcal{B}^\circ$ 的集合上全局地）用螺旋度表示。