Biot-Savart螺旋度与物理螺旋度：理想流动的拓扑描述

对于等熵（因此可压缩）流动，流体轨迹被视为欧几里得三维空间中具有光滑边界的紧致域上一族单参数、光滑、保定向且非奇异的微分同胚的轨道，这些微分同胚必然保持一个有限测度，后来被解释为流体质量。在这种微分同胚下，证明了无散且与边界相切的向量场的推前的Biot-Savart螺旋度是守恒的，并且由于这些情况呈现等熵流动，因此建立了此类流动中“Biot-Savart螺旋度”的守恒。另一方面，理想流动中众所周知的螺旋度守恒（这里我们称之为“物理螺旋度”）被发现是相对于Biot-Savart螺旋度的一个独立常数。这两种螺旋度之间的差异反映了域以及速度和涡量场的一些拓扑特征，并进行了讨论，且证明对于单连通域，两种螺旋度重合。涡量场的能量变化在形式上与之前获得的可压缩流动相同。对于由几个不相交的实心环面组成的流体域，在每个时刻，流体域上光滑向量场的调和纽结子空间被发现有两个独立的基集，这两个基之间具有特殊类型的正交性，由此实现了依赖于螺旋度差异的涡旋和速度场的拓扑描述，因为该差异被证明仅取决于速度、涡量及其Biot-Savart向量场的调和纽结部分。对于理想MHD流动，回顾了三个独立的常数螺旋度，同时通过将特殊的调和纽结场插入磁势动力学中，将磁势的螺旋度推广到非单连通域。