一般连续映射的纤维的维数

在早先的一篇论文中，Buczolich、Elekes 与作者描述了定义于紧度量空间 $K$ 上的泛型实值连续函数（在 Baire 范畴意义下）的水平集的 Hausdorff 维数。随后，作者将这一理论推广到从 $K$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的映射。本文的主要目标是将相关结果推广到拓扑维数与填充维数。设 $K$ 为紧度量空间，记 $C(K,\mathbb{R}^n)$ 为从 $K$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的连续映射集，赋予最大范数。令 $\dim_{*}$ 为拓扑维数 $\dim_T$、Hausdorff 维数 $\dim_H$ 或填充维数 $\dim_P$ 之一。定义 $$d_{*}^n(K)=\inf\{\dim_{*}(K\setminus F): F\subset K \textrm{ 是 $\sigma$-紧的且 } \dim_T F<n\}.$$ 我们证明 $d^n_{*}(K)$ 是刻画泛型连续映射 $f\in C(K,\mathbb{R}^n)$ 的纤维维数的恰当概念。特别地，我们证明若 $\dim_T K\geq n$，则有 $\sup\{\dim_{*}f^{-1}(y): y\in \mathbb{R}^n\} =d^n_{*}(K)$，否则每个纤维均为有限集。对填充维数证明上述定理需要全新的思想。此外，我们证明上述等式左侧的上确界可以取到。假设 $\dim_T K\geq n$。若 $K$ 充分齐性，则我们可以得到更多结论。例如，我们证明对泛型 $f\in C(K,\mathbb{R}^n)$ 及所有 $y\in \textrm{int} f(K)$，有 $\dim_{*}f^{-1}(y)=d^n_{*}(K)$ 当且仅当对 $K$ 的所有开集 $U\subset K$ 满足 $d^n_{*}(U)=d^n_{*}(K)$ 或 $\dim_T U<n$。即便在 $n=1$ 且 $\dim_{*}=\dim_H$ 时，这也是新的结论。已知对泛型 $f\in C(K,\mathbb{R}^n)$，$f(K)$ 的内部非空。我们通过证明对泛型 $f\in C(K,\mathbb{R}^n)$ 有 $\dim_T \partial f(K)=\dim_H \partial f(K)=n-1$ 来补充上述刻画。