覆盖空间理论中的一个极小非 Hausdorff 反例

我们构造了一个一维、第二可数、单连通的流形，它展现出单一的非 Hausdorff 纤维，这足以破坏经典覆盖空间理论的基本性质。该空间被称为具有 k 个不可分原点的直线，其定义是取 k 份实数轴的副本并跨副本识别所有非零点，使得每个副本保留一个独特的原点。这些原点是 T1 分离的，但不是 Hausdorff 分离的。我们将穿孔实数轴嵌入到一个具有单一聚点的闭圆盘中，并将非零轨迹同胚地投影到该嵌入图像上。该投影映射将所有原点坍缩至穿孔点。远离奇异点处，该映射是一个局部同胚。然而在奇异点处，该纤维是非 Hausdorff 的：一个原点的每个邻域都包含其他的原点。结果是，路径提升和同伦提升失败，幺元表示未定义，且覆叠变换群同构于 k 个字母上的对称群。尽管总空间是单连通的，该映射不能被归类为覆叠映射、分支覆叠、半覆叠或 écale 态射。这提供了一个极小维度且完全显式的例子，表明在单一纤维处 Hausdorff 分离的失败足以破坏提升性质，并消除基本群与覆叠变换之间通常的 Galois 式对应。它对覆盖空间理论向非 Hausdorff 设置的任何朴素扩展构成了尖锐的阻碍。