非豪斯多夫空间的几何及其对物理学的意义

豪斯多夫关系，即拓扑上识别给定空间中的点，属于现代数学的基本工具。我们表明，如果使用足够精细的数学方法分析这一关系，其结论可能具有深远意义且富有启发性。豪斯多夫关系属于完全类型（即识别所考虑空间的所有点）的例子包括彭罗斯铺砌空间和具有强曲率奇点的某些宇宙学模型的时空。每个豪斯多夫关系都可以关联一个群胚，在其上定义的卷积代数允许分析原本难以处理的空间。该代数在希尔伯特空间丛中的正则表示导致了一个随机算子的冯·诺依曼代数。这样，当点的概念失去意义时，一种广义上的概率描述自然接管。在这种情况下，可以定义位置和动量算符的对应物，它们满足一个对易关系，在适当的极限情况下，再现了海森堡不确定关系。需要强调的是，这既不是附加假设，也不是量子化过程的结果，而仅仅是纯几何分析的推论。