非交换格及其连续函数代数

近来引入了一种对连续拓扑空间的新近似，其近似空间为具有有限或至多可数个点数的偏序集（poset）。该偏序赋予 poset 一个非平凡的非 Hausdorff 拓扑。它们能复现连续统的重要拓扑信息，这是其在量子物理中使用的主要动机。Poset 是真正的非交换空间，或称为非交换格，因为它们可实现为非交换 $C^*$-代数的结构空间。这些非交换代数起着与 Hausdorff 拓扑空间 $M$ 上的连续函数代数 ${\cal C}(M)$ 相同的作用，并可被视为 poset 上的算子值函数代数。在本文中，我们将回顾一些建立有限 poset 与某类 C$^*$-代数之间对偶性的数学结果。我们将看到所讨论的代数全都是后极限的近似有限维（AF）代数。