两原点非豪斯线可微结构的分类

我们对两原点线 $\mathbb{L}$（即由“复制”得到的非豪斯但 $T_1$ 的一维流形）上的可微结构进行分类。设 $k\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}$，令 $H$ 为所有满足 $h(0)=0$ 且在 $\mathbb{R}\setminus0$ 上的限制是 $\mathcal{C}^{k}$-微分同胚的实数上的同胚群。令 $D$ 为其中 $\mathcal{C}^{k}$-微分同胚且也固定 $0$ 的 $H$ 的子群。我们证明，$\mathcal{C}^{k}$-结构于 $\mathbb{L}$（在固定两个原点的情况下）之间存在天然的双射，对应于双 $D$-余矢集类 $D \setminus H / D = \{ D h D \mid h \in H\}$。此外，所有 $\mathcal{C}^{k}$-结构（允许交换原点）之间的等价性对应于双 $(D,\pm)$-余矢集类 $D \setminus H^{\pm} / D = \{ D h D \cup D h^{-1} D \mid h \in H\}$。特别地，与实数线不同，两原点线 $\mathbb{L}$ 对于每个 $k=1,2,\ldots,\infty$ 都接受 uncountably many 对非等价的 $\mathcal{C}^{k}$-结构。