关于实线上线性微分算子空间作为向量场 Lie 代数模的结构

设 ${\cal D}^k$ 为实数上的 $k$ 阶线性微分算子空间：$A=a_k(x)\frac{d^k}{dx^k}+\cdots+a_0(x)$。我们研究 ${\cal D}^k$ 上的自然 1 参数族 $\Diff(\bf R)$-（以及 $\Vect(\bf R)$）-模结构。（要定义此模结构，需将微分算子的参数视为次数为 $\lambda$ 的张量密度。）本文解决了 $\Diff(\bf R)$-模结构在 $\lambda$ 取不同值时之间的同构问题。结果如下：对于 $k=3$，$\Diff(\bf R)$-模结构在 $\lambda\not=0,\;1,\;{1\over 2},\;{1\over 2}\pm \frac{\sqrt 21}{6}$ 时两两同构。在这种情况下，存在唯一（常数意义下）的互映算子 $T:{\cal D}^3\to{\cal D}^3$。在高阶情形 $(k\geq 4)$ 中，$\Diff(\bf R)$-模结构在 $\lambda$ 与 $\lambda^{\prime}$ 两个不同值对应的次数时同构，当且仅当 $\lambda+\lambda^{\prime}=1$。