任意维数下 Riemann-Lanczos 与 Weyl-Lanczos 问题的同调解法

当 ${\cal{D}}$ 是任意阶的线性偏微分算子时，一个直接问题是寻找生成 ${\cal{D}}\xi=\eta$ 的相容性条件 (CC) ${\cal{D}}_1\eta=0$ 的算子 ${\cal{D}}_1$。因此，我们可以构造一个具有相继算子 ${\cal{D}},{\cal{D}}_1,{\cal{D}}_2, ...$ 的微分序列，其中每个算子生成前一个算子的 CC。引入形式伴随 $ad( )$，我们有 ${\cal{D}}_i\circ {\cal{D}}_{i-1}=0 \Rightarrow ad({\cal{D}}_{i-1}) \circ ad({\cal{D}}_i)=0$，但 $ad({\cal{D}}_{i-1})$ 可能不生成 $ad({\cal{D}}_i)$ 的所有 CC。当 $D=K[d_1,...,d_n]=K[d]$ 是系数在微分域 $K$ 中的（非交换）微分算子环时，它通过留数产生一个 $D$ 上的微分模 $M$。同调扩张模 $ext^i(M)=ext^i_D(M,D)$（其中 $ext^0(M)=hom_D(M,D)$）仅依赖于 $M$，并且度量了上述间隙，独立于之前的微分序列。这篇相当技术性的论文的目的是计算任意维数 $n$ 下 Lie 伪群形式理论中涉及的某些 Lie 算子的这些模。特别地，我们证明了扩张模高度依赖于 Vessiot 结构常数 $c$。当处理 Lie 变换群时，或者等价地，当 ${\cal{D}}$ 是有限型 Lie 算子时，我们将证明 $ext^i(M)=0, \forall 0\leq i \leq n-1$。由此可得，当 ${\cal{D}}$ 是 Killing 或共形 Killing 算子时，Riemann-Lanczos 和 Weyl-Lanczos 问题就等价于对 $i=2$ 和任意 $n$ 证明这一结果。我们最终证明了对于具有任意 $n=2p+1$ 的无穷小接触变换的 Lie 算子，${ext}^i(M)=0, \forall i\geq 1$。这些新结果的大部分已通过计算机代数进行了验证。