控制理论与线性偏微分算子的参数化

当${\cal{D}}:\xi \rightarrow \eta$为线性OD或PD算子时，“正问题”是寻找相容性条件(CC)作为算子${\cal{D}}_1:\eta \rightarrow \zeta$，使得${\cal{D}}\xi=\eta$蕴含${\cal{D}}_1\eta=0$。当${\cal{D}}$为对合时，该过程在维数$n$下给出逐次一阶对合算子${\cal{D}}_1, ... , {\cal{D}}_n$。反之，当给定${\cal{D}}_1$时，困难得多的“逆问题”是寻找具有生成CC ${\cal{D}}_1\eta=0$的算子${\cal{D}}: \xi \rightarrow \eta$。当由${\cal{D}}_1$定义的微分模为“{\it 无挠}”时这是可能的，人们会说${\cal{D}}_1$被${\cal{D}}$参数化。微分算子伴随的系统使用提供了构造性检验。控制系统可控{\it 当且仅当}它可被参数化。因此，任何OD或PD控制系统的可控性是“{\it 内建}”性质，不依赖于在系统变量中对输入与输出变量的选择。在OD情形中，当${\cal{D}}_1$形式满射时，可控性等价于$ad({\cal{D}}_1)$的单射性。在应用中，柯西应力算子的参数化吸引了众多著名科学家，从1863年$n=2$时的G.B. Airy到1915年$n=4$时的A. Einstein。我们证明所有这些工作都已显式使用了自伴爱因斯坦算子{\it 它不能被参数化}，并基于由比安基算子${\cal{D}}_2$诱导的$div$算子与柯西算子(对任意$n$为基灵算子${\cal{D}}$的伴随)之间的混淆。这一纯数学结果深刻质疑引力波的起源与存在。