关于双边障碍问题解算子的广义导数刻画
最优化与控制
2021-06-14 v3 偏微分方程分析
摘要
我们考虑一类广泛的双边障碍问题的最优控制问题，其中控制出现于一个可能非线性的源项中。解算子的不可微性对高效优化方法的应用构成了主要挑战，而刻画解算子的 Bouligand 广义导数对其理论基础与数值实现至关重要。在本文中，若控制算子满足自然的单调性性质，我们推导了 Bouligand 广义微分的具体元素。我们构造了控制项的单调序列，其中解算子是 Gâteaux 可微的，并将相应的 Bouligand 广义微分的极限元刻画为拟开域上 Dirichlet 问题的解算子。与近期针对单边障碍问题的类似结果 [RU19] 相反，我们必须处理对应于上、下障碍的活跃集与严格活跃集的相反单调行为。此外，残差不再是 H^{-1} 上的非负泛函，其作为两个非负 Radon 测度之差的表示需要特别小心。这需要新的证明技术，从而得到 Bouligand 广义微分的两个元素。即便对于单边情形，我们也获得了相较于 [RU19] 所推导出的一个额外元素。
引用
@article{arxiv.2008.04358,
title = {On the Characterization of Generalized Derivatives for the Solution Operator of the Bilateral Obstacle Problem},
author = {Anne-Therese Rauls and Stefan Ulbrich},
journal= {arXiv preprint arXiv:2008.04358},
year = {2021}
}