含分布与边界控制点态约束的非光滑半线性椭圆最优控制问题的布利甘广义微分最优性条件

本文研究由非光滑半线性椭圆偏微分方程控制、含分布与边界单侧点态控制约束的最优控制问题，其中状态方程中的非线性系数在一点不可微。因此，该非光滑系数在各点的布利甘（Bouligand）次微分由一个或两个元素构成，将用于构造任一可行控制下控制-状态算子的两个相应布利甘广义导数。这些布利甘广义导数出现于一个新的最优性条件中，该条件推广了纯原最优性条件，即约化目标泛函在可行方向上的方向导数非负。我们随后建立了乘子存在形式的最优性条件。其中，除通常存在的伴随态及与单侧点态约束相关的非负乘子外，还存在其他非负乘子，对应于控制-状态映射的不可微性。后一类最优性条件将应用于满足所谓\emph{约束规范}的最优控制，以导出\emph{强}平稳性，其中相关伴随态在非可微值处对应最优状态的水平集上符号不变。最后，该强平稳性也被证明等价于纯原最优性条件。