非光滑PDE约束下形状优化问题的最优控制必要条件

本文关注于由非光滑PDE控制的设计问题的最优形状的推导。其主要特别之处在于状态方程中非线性的不可导性，这与它在未知域上求解相吻合。我们遵循于文献[37]中引入的函数变分方法，其中将可接受形状的集合通过大类连续映射进行参数化。最近在[4]中已确立，每种与最优形状相关联的参数化是由具有凸可接受集合由函数组成的最小化问题的全局最优序列的极限。虽然非光滑，但这些问题允许推导等价于第一阶必要最优条件[5]的optimality system。本文中我们让近似参数在其中消失。最终的非光滑形状优化问题的必要条件包括一个伴随方程、一个特征梯度方程（其在最优形状边界上集中一个测度），以及由于非光滑性，涉及其Clarke次微分的包含关系。