归纳拓扑 Hausdorff 维数与一般连续函数的纤维

在早期的一篇论文中，Buczolich、Elekes 和作者引入了一种新的度量空间维数概念，即所谓的拓扑 Hausdorff 维数。他们证明了该概念正是描述定义在紧度量空间 $K$ 上的一般实值连续函数（在 Baire 范畴意义下）水平集 Hausdorff 维数的正确概念。本文的目标是确定从 $K$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的一般连续函数纤维的 Hausdorff 维数。为此，我们定义了 $n$ 阶归纳拓扑 Hausdorff 维数 $\dim_{t^nH} K$。设 $\dim_H K$、$\dim_t K$ 和 $C_n(K)$ 分别表示 $K$ 的 Hausdorff 维数和拓扑维数，以及从 $K$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的连续函数构成的 Banach 空间。我们证明，若 $\dim_t K\geq n$，则对于一般的 $f \in C_n(K)$，有 $\sup_{y\in \mathbb{R}^n} \dim_{H}f^{-1}(y) = \dim_{t^nH} K -n$，否则每个纤维都是有限的。为了证明上述定理，我们给出了归纳拓扑 Hausdorff 维数的一些等价定义，这些定义本身也具有一定的趣味性。在此我们使用了源自拓扑维数论的技术。我们证明了上述方程左侧的上确界实际上是可以达到的。我们刻画了那些紧度量空间 $K$，使得对于一般的 $f\in C_n(K)$ 和一般的 $y\in f(K)$，满足 $\dim_{H} f^{-1}(y)=\dim_{t^nH}K-n$。我们还通过证明若 $K$ 是自相似的且 $\dim_t K\geq n$，则对于一般的 $f\in C_n(K)$ 和每一个 $y\in \inter f(K)$，都有 $\dim_{H} f^{-1}(y)=\dim_{t^nH}K-n$，从而推广了 Kirchheim 的一个结果。